在機率面前不相信機率？
我有時候會在機率面前不相信機率。
昨天玩手遊時，我要抽一個寶物，機率標示是 50% 、 50%，也就是抽得到與抽不到各佔一半。沒想到我連續 15 次都抽成功！從遊戲公司的角度來看，我一定是個超級幸運的玩家。
可是上個月，我明明還遇過連續 10 次都抽不到的情況。那時候我超級恨手遊公司，覺得工程師一定在背後調整數據。
若把這件事簡單攤開來看。二選一的機率，無論如何就是一半一半，每一次抽獎都互不影響吧！把連續幾次的結果算出來，大概是這樣：
| 情境 | 機率 | 約略說法 |
|---|---|---|
| 連續 10 次抽不到 | 1 / 1,024 | 約 0.1% |
| 連續 15 次抽成功 | 1 / 32,768 | 約 0.003% |
| 連續 30 次抽成功 | 1 / 1,073,741,824 | 約十億分之一 |
有沒有可能連續抽 30 次都超幸運？一定有可能，只是機率真的不高。
可是，我連續 15 次成功，其實比連續 10 次失敗罕見 32 倍。可是我只懷疑過後者。遇到壞運，我們會追究原因、恨透工程師；遇到好運，我們就開心到不行，不會多想。
不過這些數字也不能單獨來看。如果我總共抽了 1,000 次，裡面出現至少一段連續 10 次失敗的機率，大約有四成。再把視角拉遠，假設有 100 萬名玩家各自連抽 15 次，那麼連續 15 次成功的人，大約會有 30 個。對遊戲公司來說，這就是一個很平常的統計結果，只是剛好輪到我而已。
除了連勝與連敗，還有一種情況也很常見：玩家開始在時間裡找規律。我有次看到巴哈論壇討論「星期四下午 4 點到 5 點特別容易抽到好東西」，於是大家一窩蜂擠進那個時段（えっと我超常幹這種事）。
我對這個說法完全沒有概念，我問了三個 AI ，他們都給我相同答案，所以我整理在這邊。這種現象，其實有好幾種解釋，完全不需要假設遊戲公司動了手腳：
| 原因 | 說明 |
|---|---|
| 多重比較 | 一週有 168 個小時，每個時段都拿來比，總會有幾個看起來特別好 |
| 小樣本 | 個人在某個時段只抽過幾十次，結果本來就容易大幅偏離 50% |
| 回報偏誤 | 中獎的人愛分享，落空的人不會特別發文，大家看到的是被篩選過的樣本 |
| 自我實現 | 越多人湧進那個時段，運氣好的人就越多，相信的人也就越多 |
把第一點算清楚會更有感。一週有 168 個時段，如果每個時段單獨檢驗，各有 5% 的機會「碰巧看起來異常」，那麼預期大約會有 8 個時段看起來特別好。至少有一個時段看起來異常的機率，高達 99.98%。也就是說，「發現某個神奇時段」幾乎一定會發生，跟機率有沒有被調整無關。這就像先朝牆上亂開槍，再把靶畫在彈孔最密集的地方。
類似的事情一旦出現在眼前，我們往往會選擇不相信，或是急著替它找一個原因，因為我們無法判斷這個機率的真偽，也不知道下一次成功的機會會在什麼時候到來。就像做專案，有沒有可能連續 15 次都相當成功、大放異彩？有可能。有沒有可能連續 15 次都失敗？也有可能。那麼，我們到底該不該相信眼前的成功機率呢？